By Peter Tittmann

Dieses Lehrbuch vermittelt die Grundlagen und Konzepte der modernen Kombinatorik in anschaulicher Weise. Die verständliche Darlegung richtet sich an Studierende der Mathematik, der Naturwissenschaften, der Informatik und der Wirtschaftswissenschaften und erlaubt einen einfachen und beispielorientierten Zugang zu den Methoden der Kombinatorik. Beginnend mit den Grundaufgaben der Kombinatorik wird der Leser Schritt für Schritt mit weiterführenden Themen wie erzeugende Funktionen, Rekurrenzgleichungen und der Möbiusinversion vertraut gemacht. Eine Vielzahl von Beispielen und Übungsaufgaben mit Lösungen erleichtern das Verständnis und dienen der Vertiefung und praktischen Anwendung des Lehrstoffes.

Die vorliegende zweite Auflage ist deutlich erweitert um das für die enumerative Kombinatorik wichtige Thema Graphenpolynome sowie um ein Kapitel „Wörter und Automaten“, das die Anwendung von formalen Sprachen und endlichen Automaten zur Bestimmung von erzeugenden Funktionen für kombinatorische Probleme aufzeigt.

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Extra resources for Einführung in die Kombinatorik

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Ein Weg zur Bestimmung der Reihenentwicklung einer Funktion, die Taylor-Reihe, ist aus der Analysis bekannt. 0/ D D kŠ kŠ k 1 ! : Mit diesen Koeffizienten erhalten wir die gesuchte Entwicklung: ! 1 z/5 k k 0 Die Koeffizienten fk D 5Ckk Lösungen der Gleichung 1 liefern die Anzahl der nichtnegativen ganzzahligen x1 C x2 C : : : C x5 D k : Speziell ist 5C66 1 D 10 6 D 210 die Anzahl der Lösungen der in diesem Beispiel gegebenen Gleichung. 1 z/ n lautet ! 1 Einleitung und Beispiele 43 Diese erzeugende Funktion gestattet uns, die Fragestellung auf Gleichungen mit n Variablen zu verallgemeinern.

1/. Alle Werte von . 1/n sind für gerades n gleich 1 und für ungerades n gleich 1. Wir haben eine Potenz mit der Periode 2. Jetzt suchen wir eine Potenz der Periode 3. Aus an D a3n folgt a3 D 1. Die gesuchten Faktoren sind die dritten Einheitswurzeln p 2 4 3 1, das heißt 1, e 3 i und e 3 i . z/ C F e 3 i z C F e 3 i z 3 D X 1 C e 23 n X1 n 0 D X 4 C e 3n 3 n 0 D i 3 1 2 cos i fn z n n Á fn z n 3 Œ3 j n fn z n n 0 D X f3n z 3n : n 0 Die Verallgemeinerung dieser Idee ist nun einfach. p Um die Folge ffk n g zu erzeugen, genügt es, die k-ten Einheitswurzeln k 1 zu bestimmen.

21 In einer Kiste liegen m blaue und n gelbe Kugeln. Wir entnehmen der Kiste in jedem Schritt zufällig zwei Kugeln. Sind beide Kugeln gleichfarbig, so wird die Kiste mit einer blauen Kugel aufgefüllt. Andernfalls legen wir eine gelbe Kugel in die Kiste zurück. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die letzten beiden Kugeln gleichfarbig sind? 22 Auf wie viel Arten können drei verschiedene Zahlen aus der Menge f1; : : : ; 2ng, n 2 N gewählt werden, sodass die eine dieser Zahlen das arithmetische Mittel der anderen beiden ist?

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